Question

函數f（x）=-x³+3x在區(qū)間（a²-12，a）上有最小值，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A、（-1，

  11

  ）
• B、（-1，2）
• C、（-1，2]
• D、（1，4）

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：函數的性質及應用

分析：求函數f（x）=-x³+3x的導數，研究其最小值取到的位置，由于函數在區(qū)間（a²-12，a）上有最小值，故最小值點的橫坐標是集合（a²-12，a）的元素，由此可以得到關于參數a的等式，解之求得實數a的取值范圍

解答： 解：解：由題 f'（x）=3-3x²，
令f'（x）＞0解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1
由此得函數在（-∞，-1）上是減函數，在（-1，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數，
∵f（0）=0，∴函數f（x）=-x³+3x在R上的圖象大體如下：

故函數在x=-1處取到極小值-2，判斷知此極小值必是區(qū)間（a²-12，a）上的最小值
∴a²-12＜-1＜a，解得-1＜a＜

11

，
又當x=2時，f（2）=-2，故有a≤2
綜上知a∈（-1，2]
故選：C．

點評：本題考查用導數研究函數的最值，利用導數研究函數的最值是導數作為數學中工具的一個重要運用，要注意把握其作題步驟，求導，確定單調性，得出最值．