Question

已知橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，A，B是橢圓T上兩點(diǎn)，N（3，1）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓T相交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求直線AB的方程；
（2）是否存在這樣的橢圓，使得以CD為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O？若存在，求出該橢圓方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，利用離心率公式，得到橢圓T：x²+3y²=a²（a＞0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-3）+1，聯(lián)立消元，得到含有參數(shù)k的關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式，韋達(dá)定理中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得直線方程．
（2）根據(jù)直線CD垂直AB，求得CD直線方程，代入橢圓方程，整理得4x²-12x+12-a²=0．又設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），假設(shè)存在這樣的橢圓，使得以CD為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，則x₃x₄+y₃y₄=0，求的a的值，問(wèn)題得以解決．

解答： 解：（1）離心率e=

6

3

，橢圓T：x²+3y²=a²（a＞0）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-3）+1，代入x²+3y²=a²，
整理得 （3k²+1）x²-6k（3k-1）x+3（3k-1）²-a²=0．
①△=4[a²（3k²+1）-3（3k-1）²]＞0，②x1+x2=

6k(3k-1)

3k2+1

，由N（3，1）是線段AB的中點(diǎn)，得

x1+x2

2

=3．解得k=-1，代入②得，a²＞12，
直線AB的方程為y-1=-（x-3），即x+y-4=0．
（2）∵CD垂直平分AB，
∴直線CD的方程為y-1=x-3，即x-y-2=0，
代入橢圓方程，整理得4x²-12x+12-a²=0．
又設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∴x3+x 4=3，x3x 4=

12-a2

4

，
y3y4=(x3-2)(x4-2)=

4-a2

4

假設(shè)存在這樣的橢圓，使得以CD為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，則x₃x₄+y₃y₄=0
得a²=8，又a²＞12，
故不存在這樣的橢圓．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)以及和橢圓和直線的位置關(guān)系，關(guān)鍵設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用方程的思想，屬于中檔題．