已知橢圓的中心為原點，長軸在 軸上，上頂點為 ，左、右焦點分別為 ，線段  的中點分別為 ，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；（Ⅱ）過 作直線交橢圓于，，求△的面積

 

【答案】

：（Ⅰ）+=1（Ⅱ）

【解析】：：（Ⅰ）如答（21）圖，設所求橢圓的標準方程為+=1（），右焦點為因 是直角三角形且 ，故  為直角，從而，即  ，結合  得 。故  ，所以離心率  ，在 中，  故

由題設條件得 ，從而因此所求  橢圓的的標準方程為：+=1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，由題意，直線的傾斜角不為0，故可設直線的方程為，代入橢圓方程（*）

設  則 是上面方程的兩根，因此

 又，所以

由  ，知 ，即  ，解得

當 時，方程（*）化為：

故 ，

的面積  當  時，同理可得（或由對稱性可得） 的面積 綜上所述， 的面積為

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•道里區(qū)二模）已知橢圓的中心為原點，離心率e=
3
2
，且它的一個焦點與拋物線x2=-4
3
y的焦點重合，則此橢圓方程為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為原點O，一個焦點為F(
3
，0)，離心率為
3
2
．以原點為圓心的圓O與直線y=x+4
2
互相切，過原點的直線l與橢圓交于A，B兩點，與圓O交于C，D兩點．
（1）求橢圓和圓O的方程；
（2）線段CD恰好被橢圓三等分，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心為原點，離心率e=
3
2
，且它的一個焦點與拋物線x2=-4
3
y的焦點重合，則此橢圓方程為
x2+
y2
4
=1
x2+
y2
4
=1
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（重慶卷解析版） 題型：解答題

已知橢圓的中心為原點，長軸在 軸上，上頂點為 ，左、右焦點分別為 ，線段  的中點分別為 ，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；

（Ⅱ）過 作直線交橢圓于，，求直線的方程

 

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