Question

已知點P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）（n∈N^*）是函數(shù)y=

1

4

x²在點（1，

1

4

）處的切線上的點，且a₁=

1

2

（1）證明：{a_n+

1

2

}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1））由f′(x)=

1

2

x，可得f′（1）=

1

2

，即可得出函數(shù)y=

1

4

x²在點（1，

1

4

）處的切線方程為y-

1

4

=

1

2

(x-1)，把點P（a_n，a_n+1）代入變形可得an+1+

1

2

=

1

2

(an+

1

2

)，
即可證明．
（2）利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 證明：（1）∵f′(x)=

1

2

x，
∴f′（1）=

1

2

，
∴函數(shù)y=

1

4

x²在點（1，

1

4

）處的切線方程為y-

1

4

=

1

2

(x-1)，
化為2x-4y-1=0．
∵點P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）（n∈N^*）是切線上的點，
∴2a_n-4a_n+1-1=0，
化為an+1+

1

2

=

1

2

(an+

1

2

)，
∴{a_n+

1

2

}是等比數(shù)列，首項為a1+

1

2

=1，公比為

1

2

．
（2）由（1）可得an+

1

2

=1×(

1

2

)n-1，
∴an=(

1

2

)n-1-

1

2

．
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

1- 1 2n

1- 1 2

-

1

2

×n
=2-

1

2n-1

-

n

2

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了利用導數(shù)研究切線的斜率，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．