【題目】已知函數(shù).

(1)求的單調區(qū)間；

(2)若函數(shù)， 是函數(shù)的兩個零點， 是函數(shù)的導函數(shù)，證明： .

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)是否變號進行討論，當時， ， 遞增，當時，導函數(shù)有一零點，導函數(shù)先正后負，故得增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）利用分析法先等價轉化所證不等式：要證明，只需證明 ，即證明，即證明，再令，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，確定其最值： 在上遞增，所以，即可證得結論.

試題解析：(1) 的定義域為，

當時， ， 遞增

當時，

遞增； 遞減

綜上：∴當時， 的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為

當時， 的單調增區(qū)間為

（2）由是函數(shù)的兩個零點有

，相減得

又∵

∴

所以要證明，只需證明

即證明，即證明

令，則

則，

∴在上遞減， ，∴在上遞增，

所以成立，即

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A

B

C

甲

4

8

3

乙

5

5

10

現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料．已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車品乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元、分別用x，y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)．
（1）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；
（2）問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料，求出此最大利潤．

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（2）計算甲班的樣本方差；

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