由倍角公式，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式．

對于cos3x，我們有

可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式．一般地，存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn(t)，使得，這些多項(xiàng)式Pn(t)稱為切比雪夫多項(xiàng)式．

(Ⅰ)求證：sin3x＝3sinx－4sin3x；

(Ⅱ)請求出P4(t)，即用一個(gè)cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x；

(Ⅲ)利用結(jié)論，求出sin18°的值．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式．對于cos3x，我們有
cos3x=cos（2x+x）
=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx
=4cos3x-3cosx
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式．一般地，存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn（t），使得cosnx=Pn（cosx），這些多項(xiàng)式Pn（t）稱為切比雪夫多項(xiàng)式．
（I）求證：sin3x=3sinx-4sin3x；
（II）請求出P4（t），即用一個(gè)cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x；
（III）利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx，求出sin18°的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式．
對于cos3x，我們有
cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx
=4cos3x-3cocs．
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式．
一般地，存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn（t），使得cosnx=Pn（cosx），這些多項(xiàng)式Pn（t）稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多項(xiàng)式．
（1）請嘗試求出P4（t），即用一個(gè)cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x．
（2）化簡cos（60°-θ）cos（60°+θ）cosθ，并利用此結(jié)果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011遼寧省大連市協(xié)作體高一4月月考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（（本小題滿分12分）
由倍角公式，可知可以表示為的二次多項(xiàng)式.
對于，我們有



可見可以表示為的三次多項(xiàng)式。一般地，存在一個(gè)次多項(xiàng)式，使得，這些多項(xiàng)式稱為切比雪夫多項(xiàng)式.
（I）求證：；
（II）請求出，即用一個(gè)的四次多項(xiàng)式來表示；
(III)利用結(jié)論，求出的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011遼寧省大連市協(xié)作體高一4月月考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（（本小題滿分12分）

由倍角公式，可知可以表示為的二次多項(xiàng)式.

對于，我們有

可見可以表示為的三次多項(xiàng)式。一般地，存在一個(gè)次多項(xiàng)式，使得，這些多項(xiàng)式稱為切比雪夫多項(xiàng)式.

（I）求證：；

（II）請求出，即用一個(gè)的四次多項(xiàng)式來表示；

(III)利用結(jié)論，求出的值.

 

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