Question

（2013•合肥二模）若以曲線y=f（x）任意一點M（x，y）為切點作切線l，曲線上總存在異于M的點N（x₁ y₁），以點N為切點作切線l₁，且l∥l₁，則稱曲線y=f（x）具有“可平行性”．下列曲線具有可平行性的編號為

②③

．（寫出所有滿足條件的函數的編號）
①y=x³-x    
②y=x+

1

x

   
③y=sina
④y=（x-2）²+lnx．

Answer 1

分析：根據導數的幾何意義，將定義轉化為：“方程y′=a（a是導數值）至少有兩個根”，利用：y′=-1時，x的取值唯一判斷①不符合；對于②和③分別求出導數列出方程化簡后判斷；對于④求出導數化簡后，再由△=0時解唯一判斷④不符合．

解答：解：由題意得，曲線具有可平行性的條件是：方程y′=a（a是導數值）至少有兩個根，
①、由y′=3x²-1知，當y′=-1時，x的取值唯一，只有0，不符合題意；
②、由y′=1-

1

x2

=a（x≠0且a≠1），即

1

x2

=1-a，此方程有兩不同的個根，符合題意；
③、由y'=cosx和三角函數的周期性知，cosx=a（-1≤a≤1）的解有無窮多個，符合題意；
④、由y'=2x-4+

1

x

（x＞0），令2x-4+

1

x

=a，則有2x²-（4+a）x+1=0，當△=0時解唯一，不符合題意，
故答案為：②③．

點評：本題考查了導數的幾何意義，關鍵是將定義正確轉化為：曲線上至少存在兩個不同的點，對應的導數值相等，綜合性較強，考查了轉化思想．