Question

將邊長為4的正方形ABCD和等腰直角三角形ABE按圖拼為新的幾何圖形，△ABE中，AB=AE，連結(jié)DE，CE，若DE=4

2

，M為BE中點
（Ⅰ）求CM與DE所成角的大��；
（Ⅱ）若N為CE中點，證明：MN∥平面ADE；
（Ⅲ）證明：平面CAM⊥平面CBE．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）分別以AE，AB，AD所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出CM與DE所成角．
（Ⅱ）利用向量法推導(dǎo)出

MN

與

AD

共線，由此能證明MN∥平面ADE．
（Ⅲ）由已知條件推導(dǎo)出AM⊥BC，AM⊥BE，由此能證明平面CAM⊥平面CBE．

解答： （Ⅰ）解：∵AE=AD=4，DE=4

2

，
∴DA⊥AE，又DA⊥AB，AB∩AE=A
∴DA⊥面BAE，△ABE為等腰直角三角形，且AB=AE，
∴∠BAE=90°，AE，AB，AD兩兩垂直，
分別以AE，AB，AD所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則E（4，0，0），D（0，0，4），

DE

=(4，0，-4)，
M（2，2，0），C（0，4，4）
∴

CM

=(2，-2，-4)
∴cos＜

CM

，

DE

＞=

CM • DE

| CM |．| DE |

=

(2，-2，-4)•(4，0，-4)

24 .4 2

=

3

2

∴CM與DE所成角的大小為

π

6

…（4分）
（Ⅱ）解：∵E（4，0，0），C（0，4，4），N為CE中點
∴N（2，2，2），而M（2，2，0）
∴

MN

=(2，2，2)-(2，2，0)=(0，0，2)

AD

=(0，0，4)
∴

MN

與

AD

共線，MN∥AD，AD?面ADE，MN?面ADE，
∴MN∥平面ADE…（8分）
（Ⅲ）證明：DA⊥面BAE，AM?面BAE，
∴DA⊥AM，BC∥DA，
∴AM⊥BC，
又△ABE為等腰直角三角形且M為斜邊BE中點，
∴AM⊥BE，BE∩BC=B，
∴AM⊥面BCE，
又AM?面CAM，
∴平面CAM⊥平面CBE．…（12分）

點評：本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．