已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x2+（y-3）2=4相交于P，Q兩點，M是PQ的中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于點N，則下面運算結(jié)果為定值的有（　　）
①
AP
•
AQ
②
AM
•
AC

③
AC
•
AN
④
AM
•
AN
．
分析：根據(jù)已知條件，我們可以求出兩條直線的交點N的坐標(biāo)（含參數(shù)k），然后根據(jù)向量數(shù)量積公式，利用切割線定理判斷
AP
•
AQ
為定值，即可求出
AM
•
AC
，
AC
•
AN
，
AM
•
AN
的值，進而得到結(jié)論
解答：解：對于①，由題意
AP
•
AQ
=|
AP
|•|
AQ
|，過A作AT與圓相切，切點為T，根據(jù)切割線定理可知AT2=|
AP
|•|
AQ
|=定值．①正確．
對于②，
AM
•
AC
=
|AM
|•|
AC
|cos∠CAM=
AM
2不是定值，②不正確；
對于③，對于④，因為CM⊥MN，
∴
AM
•
AN
=(
AC
+
CM
)•
AN
=
AC
•
AN
+
CM
•
AN
=
AC
•
AN
，
當(dāng)直線l與x軸垂直時，易得N（-1，-
5
3
），
則
AN
=（0，-
5
3
），又
AC
=（1，3），
∴
AM
•
AN
=
AC
•
AN
=-5，
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
則由 y=k（x+1）x+3y+6=0，得N（
-3k-6
1+3k
，
-5k
1+3k
 ），
則
AN
=（
-5
1+3k
，
-5k
1+3k
），
∴
AM
•
AN
=
AC
•
AN
=
-5
1+3k
+
-15k
1+3k
=-5，
綜上，
AM
•
AN
與直線l的斜率無關(guān)，且
AM
•
AN
=-5．③④正確．
正確的個數(shù)為3個．
故選C．
點評：此題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，切割線定理的應(yīng)用，學(xué)生掌握兩直線垂直時斜率滿足的條件，靈活運用平面向量的數(shù)量積的運算法則化簡求值，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，會利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決實際問題，是一道綜合題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x2+（y-3）2=4相交于P，Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于N．
（1）求證：當(dāng)l與m垂直時，l必過圓心C；
（2）當(dāng)PQ=2
3
時，求直線l的方程；
（3）探索
AM
•
AN
是否與直線l的傾斜角有關(guān)？若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于點N．
（1）求證：當(dāng)l與m垂直時，l必過圓心C；
（2）探索
AM
•
AN
是否與直線l的傾斜角有關(guān)？若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：0103 月考題 題型：解答題

已知過點A（-1，0）的動直線與圓C：相交于P、Q兩點，M是PQ的中點，與直線m：相交于N。
（1）當(dāng)時，求直線的方程；
（2）探索是否與直線的傾斜角有關(guān)，若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年云南省昆明一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x2+（y-3）2=4相交于P，Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于N．
（1）求證：當(dāng)l與m垂直時，l必過圓心C；
（2）當(dāng)時，求直線l的方程；
（3）探索是否與直線l的傾斜角有關(guān)？若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由．

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