Question

19．已知曲線C：y²=-4x（x＞-3），直線l過點(diǎn)M（1，0）交曲線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，EP是AB的中垂線，E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，0），試求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可直線l的斜率k存在且不為0，故可設(shè)方程為y=k（x-1），與曲線方程聯(lián)立，根據(jù)x的范圍，建立不等式，從而可得直線l的斜率的取值范圍．再由P為線段AB的中點(diǎn)，利用EP⊥AB，求出x₀的表達(dá)式，即可求x₀的取值范圍．

解答 解：由題意可直線l的斜率k存在且不為0，故可設(shè)方程為y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=-4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$得，k²x²+（4-2k²）x+k²=0，x∈（-3，0]，
由△＞0，得k²＜1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-4}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=$-\frac{4}{k}$．
由x∈（-3，0]，令f（x）=k²x²+（4-2k²）x+k²，
得$\left\{\begin{array}{l}{f（-3）=9{k}^{2}-3（4-2{k}^{2}）+{k}^{2}＞0}\\{f（0）={k}^{2}≥0}\\{-3＜\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}}≤0}\end{array}\right.$，即${k}^{2}＞\frac{3}{4}$，
故$\frac{3}{4}＜{k}^{2}＜1$，
由P是AB的中點(diǎn)，得P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）=（$\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}}，-\frac{2}{k}$）．
由EP⊥AB，得$\frac{\frac{2}{k}}{{x}_{0}-\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}}}•k=-1$，整理得，${x}_{0}=-\frac{2}{{k}^{2}}-1$．
∵$\frac{3}{4}＜{k}^{2}＜1$，
∴x₀的取值范圍是（-$\frac{11}{3}$，-3）．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查兩直線垂直與斜率的關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．