Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²．
（1）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，且a＞1，h（x）=e^3x-3ae^x，x∈[0，ln2]，求h（x）的極小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先將g（x）在（0，+∞）上遞增，轉(zhuǎn)化成f′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，最后根據(jù)基本不等式求最值的方法可求出實數(shù)a的取值范圍；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，h'（x）=3e^3x-3ae^x=3e^x（e^2x-a），令h'（x）=0得e^2x=a，故x=

1

2

lna，
分當(dāng)0≤x＜

1

2

lna時與當(dāng)x＞

1

2

lna時，再討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與單調(diào)性的規(guī)律，得出極值．

解答： 解：（1）∵g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，定義域：（0，+∞）
∴g'（x）=

1

x

+2x-a 
∵函數(shù)g（x）=f（x）-ax在定義域內(nèi)為增函數(shù)，g'（x）=

1

x

+2x-a≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≤

1

x

+2x在（0，+∞）恒成立，
令t（x）=

1

x

+2x，只需a≤t（x）_最小值即可，
∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

1 x •2x

=2

2

當(dāng)且僅當(dāng)

1

x

=2x，x=

2

2

時上式取等號，∴t（x）_最小值=2

2

，
∴a≤2

2

．
（2）由（1）以及條件得：1＜a≤2

2

，
∵h(yuǎn)（x）=e^3x-3ae^x，
∴h'（x）=3e^3x-3ae^x=3e^x（e^2x-a），
令h'（x）=0得e^2x=a，∴x=

1

2

lna，
∵1＜a≤2

2

，∴
lna≤ln2

2

，∴

1

2

lna≤

1

2

ln2

2

=

3

4

ln2，∴

1

2

lna∈[0，ln2]，
當(dāng)0≤x＜

1

2

lna時，2x＜lna，∴e^2x＜e^lna=a，∴e^2x-a＜0，∴h'（x）＜0，∴h（x）在[0，

1

2

lna]上遞減；
當(dāng)x＞

1

2

lna時，2x＞lna，∴e^2x＞e^lna=a，∴e^2x-a＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在[

1

2

lna，ln2]上遞增；
∴當(dāng)x=

1

2

lna時，函數(shù)h（x）取極小值，
∴h(x)極小值=h(

1

2

lna)=(e)3•

1

2

lna-3a(e)

1

2

lna=(a)

3

2

-3a•(a)

1

2

=-2(a)

3

2

．

點評：利用導(dǎo)數(shù)工具討論函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)的值域和最值的常用方法，本題還考查了分類討論思想在函數(shù)題中的應(yīng)用，屬于高檔題．