Question

【題目】如圖，在四棱錐中，等邊三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，，M是棱PD的中點(diǎn)．

Ⅰ求證：平面PCD；

Ⅱ求三棱錐的體積；

Ⅲ過(guò)B做平面與平面PAD平行，設(shè)平面截四棱錐所得截面面積為S，試求S的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

Ⅰ由已知可得，再由面面垂直的性質(zhì)可得平面PCD；Ⅱ由Ⅰ知，平面PCD，由已知求出三角形DMC的面積，再由等積法求三棱錐的體積；Ⅲ在平面ABCD中，過(guò)B作，交CD于E，則E為CD中點(diǎn)，在平面PCD中，過(guò)E作，交PC于F，連接BF，由面面平行的判定可得平面BEF為過(guò)B與平面PAD平行的平面，證明三角形BEF為直角三角形，則面積可求．

Ⅰ證明：，，

又平面平面ABCD，且平面平面，

平面PCD；

Ⅱ解：由Ⅰ知，平面PCD，

是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且M為PD的中點(diǎn)，

．

則；

Ⅲ解：如圖，在平面ABCD中，過(guò)B作，交CD于E，則E為CD中點(diǎn)，

在平面PCD中，過(guò)E作，交PC于F，連接BF，

則BEF為過(guò)B與平面PAD平行的平面，

平面PCD，，則平面PCD，得．

，，

截面的面積為．