Question

設(shè)x=3是函數(shù)f（x）=（

x

2

+ax+b)

e

3-x

(x∈R)的一個(gè)極值點(diǎn)．
①求a與b的關(guān)系式（用a表示b）；
②求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
③設(shè)a＞0，g（x）=(

a

2

+

25

4

)

e

x

，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]，使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立．求a的取值范圍．

Answer 1

①f′（x）=-[x²+（a-2）x+b-a]e^3-x，
由f′（3）=0，得-[3²+（a-2）3+b-a]e^3-3=0，即得b=-3-2a，
②則f′（x）=[x²+（a-2）x-3-2a-a]e^3-x
=-[x²+（a-2）x-3-3a]e^3-x=-（x-3）（x+a+1）e^3-x．
令f′（x）=0，得x₁=3或x₂=-a-1，
由于x=3是極值點(diǎn)，
所以x+a+1≠0，那么a≠-4．
當(dāng)a＜-4時(shí)，x₂＞3=x₁，則
在區(qū)間（-∞，3）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
在區(qū)間（3，-a-1）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
在區(qū)間（-a-1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
當(dāng)a＞-4時(shí)，x₂＜3=x₁，則
在區(qū)間（-∞，-a-1）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
在區(qū)間（-a-1，3）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
在區(qū)間（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
③由②知，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，
那么f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，
而f（0）=-（2a+3）e³＜0，f（4）=（2a+13）e^-1＞0，f（3）=a+6，
那么f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域是[-（2a+3）e³，a+6]．
又g（x）=(

a

2

+

25

4

)

e

x

在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，
且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a²+

25

4

，（a²+

25

4

）e⁴]，
由于（a²+

25

4

）-（a+6）=a²-a+

1

4

=（a-

1

2

）²≥0，
所以只須僅須（a²+

25

4

）-（a+6）＜1且a＞0，
解得0＜a＜

3

2

．
故a的取值范圍是（0，

3

2

）．