在四棱錐中，平面，,.

(Ⅰ)求證：；

(Ⅱ)求與平面所成角的正弦值；

(Ⅲ)線段上是否存在點,使平面？說明理由.

證明：(Ⅰ)在四棱錐中，因為平面，平面,

所以.       因為，       所以.

       因為,       所以平面.

因為平面,所以.             

(Ⅱ) 如圖，以為原點建立空間直角坐標系.  不妨設，則.

則.

           所以，.

           設平面的法向量.

           所以 .即.

           令，則.

           所以 所以

所以與平面所成角的正弦值為.                

(Ⅲ)（法一）當為線段的中點時,平面.

如圖：分別取的中點,連結(jié).

     所以,且.     因為且，

     所以且.     所以四邊形是平行四邊形.

     所以.     因為，    所以三角形是等腰三角形.

    所以.         因為平面，        所以.

        因為,        所以平面.        所以平面.

           即在線段上存在點,使平面.              

   （法二）設在線段上存在點,當時，平面.

           設，則.所以.

即.所以.

所以.由(Ⅱ)可知平面的法向量.

若平面，則.即.解得.

所以當，即為中點時，平面.   

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年江蘇省普通高中招生考試數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點
求證：（1）直線EF‖平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD

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如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

 

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在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當時，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個點，使得，求此時二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當a=1時，底面ABCD為正方形，

又因為,………………2分

又，得證。

第二問，建立空間直角坐標系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點Q使得

當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得

由此知道a=2,  設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當時，底面ABCD為正方形，

又因為,又………………3分

(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時，存在點Q使得

當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得由此知道a=2,

設平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年貴州省黔東南州高三第一次高考模擬考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面，，，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求與平面所成角的大�。�

 

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（12分）在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，     AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點

求證：（1）直線EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

 

 

 

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