Question

一個盒子中裝有大小相同的小球n個，在小球上分別標(biāo)有1，2，3，…，n的號碼，已知從盒子中隨機(jī)的取出兩個球，兩球的號碼最大值為n的概率為

1

4

，
（Ⅰ）問：盒子中裝有幾個小球？
（Ⅱ）現(xiàn)從盒子中隨機(jī)的取出4個球，記所取4個球的號碼中，連續(xù)自然數(shù)的個數(shù)的最大值為隨機(jī)變量ξ（如取2468時，ξ=0；取1246或1245時，ξ=2；取1235時，ξ=3）求隨機(jī)變量ξ的分布列及均值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由題意知

C 1 n-1

C 2 n

=

1

4

，由此能求出盒子中裝有小球的個數(shù)．
（Ⅱ）ξ可能的取值為0，2，3，4，分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知

C 1 n-1

C 2 n

=

1

4

，
解得n=8，
∴盒子中裝有8個小球．…（6分）
（Ⅱ）ξ可能的取值為0，2，3，4，
P(ξ=2)=

40

C 4 8

=

4

7

，
P(ξ=0)=

5

C 4 8

=

1

14

，
P（ξ=3）=

20

C 4 8

=

2

7

，
P(ξ=4)=

5

C 4 8

=

1

14

，

ξ	0	2	3	4
P	1 14	4 7	2 7	1 14

Eξ=0×

1

14

+2×

4

7

+3×

2

7

+4×

1

14

=

16

7

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要注意排列組合的合理運(yùn)用．