Question

（本小題滿(mǎn)分14分）已知橢圓（）的左、右頂點(diǎn)分別為，，

且,為橢圓上異于，的點(diǎn)，和的斜率之積為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為橢圓中心，，是橢圓上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．

Answer 1

（1） （2）

【解析】

試題分析：第（1）問(wèn)首先由得到橢圓左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再由和的斜率之積為求出幾何量的值即得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；第（2）問(wèn)先列出的面積，需要求直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)，計(jì)算點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，再討論的面積最值．

試題解析：（1）由，得，所以，．

設(shè)，則， 解得．

于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）①當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為，

由，得，，

從而，

當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值．

②當(dāng)直線(xiàn)線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，

由消去，得．

，化簡(jiǎn)得．

設(shè)，，則，，

，

原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

所以．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值．

綜合①②知，的面積取得最大值．

考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，三角形面積．