Question

已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離與到定點(diǎn)的距離的比值是.

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明方程表示的曲線；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

①若是圓上任意一點(diǎn)，過(guò)作曲線的切線，切點(diǎn)是，求的取值范圍；

②已知，是曲線上不同的兩點(diǎn)，對(duì)于定點(diǎn)，有.試問(wèn)無(wú)論，兩點(diǎn)的位置怎樣，直線能恒和一個(gè)定圓相切嗎？若能，求出這個(gè)定圓的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），

方程表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，曲線的方程是，曲線表示圓，圓心是，半徑是.

①.

②動(dòng)直線與定圓相切.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由，得，

整理得: .

   ，

當(dāng)時(shí)，則方程可化為：，故方程表示的曲線是線段的垂直平分線；

當(dāng)時(shí)，則方程可化為，

即方程表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓.          5分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，曲線的方程是，

故曲線表示圓，圓心是，半徑是.

①由，及有：

兩圓內(nèi)含，且圓在圓內(nèi)部.如圖所示，由有: ,故求的取值范圍就是求的取值范圍.而是定點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，故過(guò)作圓的直徑，得，，故，.          9分

②設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，，

則由面積相等得到，且圓的半徑. 

即于是頂點(diǎn) 到動(dòng)直線的距離為定值，

即動(dòng)直線與定圓相切.

考點(diǎn)：圓的方程，圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：難題，本題確定軌跡方程，利用了“直接法”，對(duì)于參數(shù)的討論，易出現(xiàn)遺漏現(xiàn)象。本題確定點(diǎn)到直線的距離，轉(zhuǎn)化成面積計(jì)算，不易想到。