Question

若函數(shù)y=f（x）（x∈D）同時滿足下列條件：
①f（x）在D內為單調函數(shù)；
②f（x）的值域為D的子集，則稱此函數(shù)為D內的“保值函數(shù)”．
（Ⅰ）f（x）=

2x+b-4

ln2

是[1，+∞）內的“保值函數(shù)”，則b的最小值為

 

；
（Ⅱ）當-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1時，g（x）=ax²+b是[0，1]內的“保值函數(shù)”的概率為

 

．

Answer 1

考點：幾何概型,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由求導判斷可得f（x）為增函數(shù)，進而可得f（x）的值域，根據(jù)題意中保值函數(shù)的定義，可得

b-2

ln2

≥1，解可得b的范圍，即可得答案．
（Ⅱ）根據(jù)題意，由a、b的范圍分析可得其表示的平面區(qū)域，計算可得其面積，對于函數(shù)f（x），分-1≤a＜0與0＜a≤1兩種情況，先分析出f（x）的單調性，由此得到f（x）的值域，進而由保值函數(shù)的定義，可得關于a、b的不等式組，分析可得其對應的平面區(qū)域，易得其面積，綜合兩種情況可得f（x）為保值函數(shù)對應的平面區(qū)域即面積，由幾何概型公式計算可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，f′（x）=2^x＞0，則f（x）在[1，+∞）為增函數(shù)，
故f（x）的最小值為f（1）=

b-2

ln2

，其最大值不存在，則f（x）的值域為[

b-2

ln2

，+∞），
又由f（x）在[1，+∞）是“保值函數(shù)”，
則有

b-2

ln2

≥1，解可得b≥2+ln2；
故b的最小值為2+ln2．
（Ⅱ）根據(jù)題意，-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1，
則a、b確定的區(qū)域為邊長為2的正方形，其面積為4；
對于f（x），有f′（x）=2ax，x∈[0，1]，
當-1≤a＜0時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
則f（x）的最大值為f（0）=b，最小值為f（1）=a+b，則f（x）的值域為[a+b，a]，
若f（x）為保值函數(shù)，則有

0≤a+b a≤1

，
其表示的區(qū)域為陰影三角形A，面積為

1

2

，
當0＜a≤1時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
則f（x）的最小值為f（0）=b，最大值為f（1）=a+b，則f（x）的值域為[a，a+b]，
若f（x）為保值函數(shù)，則有

b≥0 a+b≤1

，
其表示的區(qū)域為陰影三角形B，面積為

1

2

；
f（x）為保值函數(shù)對應區(qū)域的面積為1；
則f（x）為保值函數(shù)的概率為

1

4

；
故答案為：2+ln2；

1

4

．

點評：本題考查幾何概型的計算以及函數(shù)單調性的應用，關鍵是理解保值函數(shù)的定義．