Question

請考生從以下三個小題中任選一個作答，若多選，則按所選的第一題計分．
A．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）直線

x=4t y=3t-2

（t為參數(shù)）被曲線

x=5+2cosθ y=3+2sinθ

（θ為參數(shù)）所截得的弦長為

2

3

；
B．（不等式選講）若存在實數(shù)x滿足|x-3|+|x-m|＜5，則實數(shù)m的取值范圍為

-2＜m＜8

；
C．（幾何證明選講）若一直角三角形的內(nèi)切圓與外接圓的面積分別是π與9π，則三角形的面積為

7

．

Answer 1

分析：A 把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式及弦長公式求得弦長．
B 有絕對值的意義知，|x-3|+|x-m|的最小值為|m-3|，故|m-3|＜5，去掉絕對值求得m范圍．
C 如圖：由題意得，三角形的內(nèi)切圓半徑等于1，外接圓的半徑等于3，設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
點C（1，1）為△AOB的內(nèi)心，由點C到AB的距離等于1，及

a2+ b2

=6，解方程求得 ab，即可求得
三角形的面積 

1

2

ab 的值．

解答：解：A  用代入法消去參數(shù)，化為普通的直線方程為 3x-4y-8=0，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
消去參數(shù)θ得到曲線的普通方程為 （x-5）²+（y-3）²=4，表示圓心在（5，3），半徑等于2的圓．
圓心到直線的距離等于

|15-12-8|

5

=1，故弦長為 2

4-1

=2

3

．
B  由于|x-3|+|x-m|表示數(shù)軸上的x 到3和m的距離之和，故其最小值為|m-3|，
∵存在實數(shù)x滿足|x-3|+|x-m|＜5，∴|m-3|＜5，-5＜m-3＜5，-2＜m＜8．
C 由題意得，三角形的內(nèi)切圓半徑等于1，外接圓的半徑等于3，直角三角形的斜邊中點到三個頂點的距離相等，
故直角三角形的斜邊長等于6，如圖：設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
 Rt△AOB中，點C（1，1）為△AOB的內(nèi)心，AB的中點D是△AOB的外心．
，

a2+ b2

=6=AB，AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，即 bx+ay-ab=0．
由題意知，點C到AB的距離等于1，∴

|b+a-ab|

a2+b2

=1，∴|b+a-ab|=6，
b+a-ab=6 ①，b+a-ab=-6   ②．
把①移向平方得 a²+b²+2ab=（ab）²+12ab+36，∴ab=0（舍去），或 ab=-10（舍去），
把②移向平方得 a²+b²+2ab=（ab）²-12ab+36，∴ab=0（舍去）  或 ab=14，
故三角形的面積為

1

2

ab=7．
故答案為   A   2

3

；  B-2＜m＜8；    C  7．
，

點評：本題考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為普通方程的方法，絕對值不等式的解法，點到直線的距離公式的
應(yīng)用．