Question

2．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}，a₁=1，a₂a₄=16，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{3{n}^{2}+n}{2}$（n∈N⁺）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）c_n=a_nb_n（n∈N⁺），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若d_n=a_n+（-1）ⁿb_n，設(shè)數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和為U_n，求U_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=2^n-1：再由數(shù)列的通項(xiàng)和求和的關(guān)系，可得n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，注意檢驗(yàn)n=1的情況；
（2）求得c_n=a_nb_n=（3n-1）•2^n-1，運(yùn)用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到；
（3）d_n=a_n+（-1）ⁿb_n=2^n-1+（-1）ⁿ•（3n-1），討論n為偶數(shù)和奇數(shù)，運(yùn)用分組求和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₁=1，a₂a₄=16，可得q⁴=16，解得q=2，（-2舍去），
即有a_n=2^n-1：
由S_n=$\frac{3{n}^{2}+n}{2}$（n∈N⁺），可得a₁=S₁=2，
n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{3（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$
=3n-1，對n=1也成立，
則b_n=3n-1；
（2）c_n=a_nb_n=（3n-1）•2^n-1，
T_n=2+5•2+8•2²+…+（3n-1）•2^n-1，
2T_n=2•2+5•2²+8•2³+…+（3n-1）•2ⁿ，
兩式相減可得，-T_n=2+3（2+2²+…+2^n-1）-（3n-1）•2ⁿ，
=2+3•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-1）•2ⁿ，
化簡可得T_n=4+（3n-4）•2ⁿ；
（3）d_n=a_n+（-1）ⁿb_n=2^n-1+（-1）ⁿ•（3n-1），
當(dāng)n為偶數(shù)時，U_n=（1+2+…+2^n-1）+（-2+5）+（-8+11）+…+（-3n+4+3n-1）
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{3n}{2}$=$\frac{3}{2}$n+2ⁿ-1；
當(dāng)n為奇數(shù)時，U_n=U_n-1+d_n=$\frac{3}{2}$（n-1）+2^n-1-1+2^n-1-（3n-1）
=2ⁿ-$\frac{3n+3}{2}$．
即有U_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}-\frac{3n+3}{2}，n為奇數(shù)}\\{{2}^{n}+\frac{3n-2}{2}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法和分組求和，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．