Question

以下兩題任選一題：（若兩題都做，按第一題評分）
（1）若圓C的參數(shù)方程為

x=3cosθ+1 y=3sinθ

（θ為參數(shù)），則圓心的坐標為

（1，0）

，圓C與直線x+y-3=0的交點個數(shù)為

2

．
（2）設函數(shù)f（x）=|x-a|+3x其中a＞0，
（Ⅰ）當a=1時，不等式f（x）≥3x+2的解集為

{x|x≥3，或 x≤-1}

；
（II）f（x）≤0的解集為{x|x≤-1}，則 a=

2

．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數(shù)的基本關系消去參數(shù)，化為普通方程，求出圓心和半徑，再利用點到直線的距離公式求得
圓心到直線的距離，和半徑作對比，可得直線和圓的位置關系．
（2）（Ⅰ）當a=1時，不等式即|x-1|+3x≥3x+2，可化為|x-1|≥2，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）由f（x）≤0可得|x-a|+3x≤0，求得解集為{x|x＜-

a

2

 }．再由f（x）≤0的解集為{x|x≤-1}，
故有-

a

2

=-1，由此求得a的值．

解答：解：（1）∵圓C的參數(shù)方程為

x=3cosθ+1 y=3sinθ

（θ為參數(shù)），利用同角三角函數(shù)的基本關系消去參數(shù)，
化為普通方程為 （x-1）²+y²=9，故圓心坐標為（1，0），半徑等于3．
圓心到直線x+y-3=0的距離d=

|1+0-3|

2

=

2

，小于半徑，故直線和圓相交，
故答案為 （1，0）、2．
（2）（Ⅰ）當a=1時，不等式f（x）≥3x+2即|x-1|+3x≥3x+2，即|x-1|≥2，
∴x-1≥2，或 x-1≤-2．
解得 x≥3，或 x≤-1，故不等式的解集為{x|x≥3，或 x≤-1}，
故答案為 {x|x≥3，或 x≤-1}．
（Ⅱ）由f（x）≤0可得|x-a|+3x≤0，∴|x-a|≤-3x，∴3x≤x-a≤-3x．
解得 x＜-

a

2

，故不等式f（x）≤0的解集為{x|x＜-

a

2

 }．
又已知f（x）≤0的解集為{x|x≤-1}，故有-

a

2

=-1，a=2，
故答案為 2．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．