Question

已知函數(shù)f（x）=

( 1 2 )x，x≤0 2f(x-1)，x＞0

，若函數(shù)f（x）=3x+a有且只有一個解，求a的取值范圍？

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，畫出f（x）=(

1

2

)x 在x≤0時的圖象，以及2f（x-1）在x＞0時的圖象，結(jié)合圖象進行解答，即得a的取值范圍．

解答： 解：畫出f（x）=(

1

2

)x （x≤0）的圖象，如圖所示；
y=2f（x-1），（x＞0）表示的是每向右平移1單位，圖象變大為原來的2倍；
當(dāng)y=3x+a經(jīng)過AC時，恰好有3個交點，
當(dāng)y=3x+a經(jīng)過B時，恰好有1個交點；
∴有且只有一個解時，實數(shù)a的取值范圍是：
-2≤a＜-1．

點評：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)題意，畫出圖象，再結(jié)合圖形進行解答問題，是較難的題．