Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若b=4，

BA

•

BC

=8．
（1）求a²+c²的值；
（2）求函數(shù)f（B）=

3

sinBcosB+cos²B的值域．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡

BA

•

BC

=8，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將化簡結(jié)果及b的值代入計算即可求出a²+c²的值；
（2）由基本不等式求出ac的范圍，根據(jù)accosB=8表示出cosB，由ac的范圍求出cosB的范圍，進而利用余弦函數(shù)性質(zhì)求出B的范圍，f（B）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理為一個角的正弦函數(shù)，由B的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出f（B）的范圍．

解答： 解：（1）∵

BA

•

BC

=8，∴accosB=8，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-16，
∵b=4，
∴a²+c²=32；
（2）∵a²+c²≥2ac，
∴ac≤16，
∵accosB=8，
∴cosB=

8

ac

≥

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴0＜B≤

π

3

，
∵f（B）=

3

sinBcosB+cos²B=

3

2

sin2B+

1

2

（1+cos2B）=sin（2B+

π

6

）+

1

2

，
∵

π

6

＜2B+

π

6

≤

5π

6

，
∴sin（2B+

π

6

）∈[

1

2

，1]，
則f（B）的值域為[1，

3

2

]．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．