Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=AD=2DC=2 ，PA=4且E為PB的中點(diǎn)．
（1）求證：CE∥平面PAD；
（2）求直線CE與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PA中點(diǎn)Q，連結(jié)QE、QD，

∵E為PB中點(diǎn)，∴QE∥AB，且QE= AB，

∵底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠BDA=90°，AB=AD=2DC=2 ，

∴QE∥CD，且QE=CD，∴四邊形QECD是平行四邊形，

∴EC∥QD，又FC平面PAD，QD平面PAD，

∴CE∥平面PAD

（2）解：過(guò)E作平面PAC的垂線，記垂足為O，連結(jié)CO，

則∠ECO是直線CE與平面PAC所成的角，

過(guò)B作BN⊥AC，記垂足為N，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BN，

又PA，AC平面PAC，且PA∩AC=A，

∴BN⊥平面PAC，

∴EO∥BN，又∵E是AB的中點(diǎn)，∴EO= BN= ，

過(guò)E作EM⊥AB=M，連結(jié)CM，得CE=2 ，

在Rt△CEO中，sin∠ECO= = ，

∴直線CE與平面PAC所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）取PA中點(diǎn)Q，連結(jié)QE、QD，推導(dǎo)出四邊形QECD是平行四邊形，由此能證明CE∥平面PAD．（2）過(guò)E作平面PAC的垂線，記垂足為O，連結(jié)CO，∠ECO是直線CE與平面PAC所成的角，過(guò)B作BN⊥AC，記垂足為N，過(guò)E作EM⊥AB=M，連結(jié)CM，由此能求出直線CE與平面PAC所成角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．