Question

如圖，已知半徑為的⊙與軸交于、兩點，為⊙的切線，切點為，且在第一象限，圓心的坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）求切線的函數(shù)解析式；

（3）線段上是否存在一點，使得以、、為頂點的三角形與相似．若存在，請求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）切線的函數(shù)解析式為；

（3）點的坐標(biāo)為或.

【解析】

試題分析：（1）先求出圓的方程，并求出圓與軸的交點和的坐標(biāo)，然后將點和的坐標(biāo)代入二次函數(shù)中解出和的值，從而確定二次函數(shù)的解析式；（2）由于切線過原點，可設(shè)切線的函數(shù)解析式為，利用直線與圓求出值，結(jié)合點的位置確定切線的函數(shù)解析式；（3）對或進(jìn)行分類討論，充分利用幾何性質(zhì)，從而確定點的坐標(biāo).

試題解析：（1）由題意知，圓的方程為，令，解得或，

故點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，

由于二次函數(shù)經(jīng)過、兩點，則有，解得，

故二次函數(shù)的解析式為；

（2）設(shè)直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為，由于點在第一象限，則，

由于直線與圓相切，則，解得，

故切線的函數(shù)解析式為；

（3）由圖形知，在中，，，，

在中，，由于，因為，

則必有或，

聯(lián)立，解得，故點的坐標(biāo)為，

當(dāng)時，直線的方程為，聯(lián)立，于是點的坐標(biāo)為；

當(dāng)時，，由于點為線段的中點，故點為線段的中點，

此時點的坐標(biāo)為.

綜上所述，當(dāng)點的坐標(biāo)為或時，.

考點：1.二次函數(shù)的解析式；2.直線與圓的位置關(guān)系；3.相似三角形