設(shè)點M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知A(0,1),B(0,-1),且
MN
AB

(1)求動點C的軌跡E;
(2)若直線y=x+b與曲線E交于不同的兩點P、Q,且滿足
OP
OQ
=0
,求實數(shù)b的取值.
分析:(1)設(shè)點C(x,y ),則點M  (
x
3
,
y
3
 ),由
MN
AB
,可得 MN∥AB,故N的橫坐標等于
x
3
,又N在AB的中垂線上,故縱坐標等于 0.由于 NA=NC,可得
(
x
3
)
2
+1
=
(
x
3
-x)
2
+y2
,化簡可得軌跡方程,從而得到軌跡.
(2)把直線y=x+b代入軌跡E的方程化簡可得  4x2+6bx+3b2-3=0,由
OP
OQ
=0
 可得  x1•x2+(x1+b)•(x2+b)=2x1•x2+b(x1+x2)+b2=0,把根與系數(shù)的關(guān)系代入求出b值.
解答:解:(1)設(shè)點C(x,y ),則 點M (
0+0+x
3
1-1+y
3
 ),即 點M  (
x
3
,
y
3
 ),
MN
AB
,可得 MN∥AB,故N的橫坐標等于
x
3
,又N在AB的中垂線上,故縱坐標等于 0.
由于N是不等邊△ABC的外心,∴NA=NC,∴
(
x
3
)
2
+1
=
(
x
3
-x)
2
+y2

化簡可得 
x2
3
+y2= 1
,xy≠0,故動點C的軌跡E是焦點在x軸上的標準位置的一個橢圓,去掉其頂點.
(2)把直線y=x+b代入軌跡E的方程化簡可得  4x2+6bx+3b2-3=0.由題意可得,b≠0,b≠±1,
且△=36b2-16( 3b2-3)>0,x1+x2=
-3b
2
,x1•x2=
3b2-3
4

OP
OQ
=0
 可得  x1•x2+(x1+b)•(x2+b)=2x1•x2+b(x1+x2)+b2=0.
∴2•
3b2-3
4
+b•(
-3b
2
 )+b2=0,解得 b2=
3
2
,∴b=±
6
2
點評:本題考查點軌跡方程的求法,直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,判斷軌跡E的形狀,是階梯的易錯點.
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)點MN分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知A(0,1)、B(0,-1),且

(1)求動點C的軌跡E

(2)若直線y=kx+b與曲線E交于不同的兩點P、Q,且滿足,求實數(shù)b的取值范圍.

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(本小題滿分12分)
設(shè)點M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知、,且.
(1)求動點C的軌跡E;
(2)若直線與曲線E交于不同的兩點P、Q,且滿足,求實數(shù)的取值范圍。

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(本小題滿分12分)

設(shè)點M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知、,且.

(1)求動點C的軌跡E;

(2)若直線與曲線E交于不同的兩點P、Q,且滿足,求實數(shù)的取值范圍。

 

 

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設(shè)點M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心,已知A(0,1),B(0,-1),且
(1)求動點C的軌跡E;
(2)若直線y=x+b與曲線E交于不同的兩點P、Q,且滿足,求實數(shù)b的取值.

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