Question

（2012•綿陽三模）已知向量

m

=（sinx，-1），

n

=（cosx，3）．
（I ）當

m

∥

n

時，求

sinx+cosx

3sinx-2cosx

的值；
（II）已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，

3

c=2asin（A+B），函數(shù)f（x）=（

m

+

n

）•

m

，求f（B+

π

8

）的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由

m

∥

n

，可得tanx=-

1

3

，再由

sinx+cosx

3sinx-2cosx

=

tanx+1

3tanx-2

，運算求得結果．
（II）在△ABC中，由

3

c=2asin（A+B）利用正弦定理求得sinA=

3

2

，可解得 A=

π

3

．由△ABC為銳角三角形，得

π

6

＜B＜

π

2

，利用兩個向量的數(shù)量積公式求得函數(shù)f（x）=
 

2

2

sin（2x-

π

4

）-

3

2

．由此可得f（B+

π

8

）=

2

2

sin2B-

3

2

，再根據(jù)B的范圍求出sin2B的范圍，即可求得f（B+

π

8

）的取值范圍．

解答：解：（I）由

m

∥

n

，可得3sinx=-cosx，于是tanx=-

1

3

．
∴

sinx+cosx

3sinx-2cosx

=

tanx+1

3tanx-2

=

- 1 3 +1

3(- 1 3 )-2

=-

2

9

．   
（II）∵在△ABC中，A+B=π-C，于是sin（A+B）=sinC，
由

3

c=2asin（A+B）利用正弦定理得：

3

sinC=2sinAsinC，
∴sinA=

3

2

，可解得 A=

π

3

． …（6分）
又△ABC為銳角三角形，于是

π

6

＜B＜

π

2

，
∵函數(shù)f（x）=（

m

+

n

）•

n

=（sinx+cosx，2）•（sinx，-1）
=sin²x+sinxcosx-2=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

-2=

2

2

 sin（2x-

π

4

）-

3

2

．
∴f（B+

π

8

）=

2

2

sin[2（B+

π

8

）-

π

4

]-

3

2

=

2

2

sin2B-

3

2

．…（10分）
由

π

6

＜B＜

π

2

 得

π

3

＜2B＜π，
∴0＜sin2B≤1，得-

3

2

＜

2

2

sin2B-

3

2

≤

2

2

-

3

2

，即 f（B+

π

8

）的取值范圍 （-

3

2

，

2

2

-

3

2

]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦定理，正弦函數(shù)的定義域和值域，兩個向量的數(shù)量積公式的應用，屬于中檔題．