Question

過(guò)直線(xiàn)l：y=2x上一點(diǎn)P作圓M：(x-3)2+(y-4)2=

1

5

的兩條切線(xiàn)l₁，l₂，A，B為切點(diǎn)，若直線(xiàn)l₁，l₂關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則∠APB=

60°

．

Answer 1

分析：連接PM、AM，根據(jù)圓的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)，得當(dāng)切線(xiàn)l₁，l₂關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)時(shí)，直線(xiàn)l⊥PM，且PM平分∠APB．因此計(jì)算出圓的半徑和點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離，在Rt△PAM中利用三角函數(shù)定義算出∠APM的度數(shù)，從而得到∠APB的度數(shù)．

解答：解：連接PM、AM，可得當(dāng)切線(xiàn)l₁，l₂關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)時(shí)，直線(xiàn)l⊥PM，且射線(xiàn)PM恰好是∠APB的平分線(xiàn)
∵圓M的方程為（x-3）2+（y-4）2=

1

5

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（3，4），半徑r=

5

5

∴點(diǎn)M到直線(xiàn)l：2x-y=0的距離為PM=

2 5

5

由PA切圓M于A，得Rt△PAM中，sin∠APM=

AM

PM

=

5 5

2 5 5

=

1

2

得∠APM=30°
∴∠APB=2∠APM=60°

故答案為：60°

點(diǎn)評(píng)：本題在直角坐標(biāo)系中給出圓的兩條切線(xiàn)關(guān)于已知直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求它們之間所成的角，著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系和軸對(duì)稱(chēng)等知識(shí)，具有一定的綜合性