(本小題滿分12分)
在正方體ABCD-A′B′C′D′中,點M是棱AA′的中點,點O是對角線BD′的中點.
(Ⅰ)求證:OM為異面直線AA′和BD′的公垂線;
(Ⅱ)求二面角M-BC′-B′的大;
本小題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體等基礎(chǔ)知識,并考查空間想象能力和邏輯推理能力,考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。
解法一:(1)連結(jié)AC,取AC中點K,則K為BD的中點,連結(jié)OK
因為M是棱AA’的中點,點O是BD’的中點
所以AM
所以MO
由AA’⊥AK,得MO⊥AA’
因為AK⊥BD,AK⊥BB’,所以AK⊥平面BDD’B’
所以AK⊥BD’
所以MO⊥BD’
又因為OM是異面直線AA’和BD’都相交
故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線…………6分
(2)取BB’中點N,連結(jié)MN,則MN⊥平面BCC’B’
過點N作NH⊥BC’于H,連結(jié)MH
則由三垂線定理得BC’⊥MH
從而,∠MHN為二面角M-BC’-B’的平面角
MN=1,NH=Bnsin45°=
在Rt△MNH中,tan∠MHN=
故二面角M-BC’-B’的大小為arctan2…………………………………………12分
解法二:
以點D為坐標原點,建立如圖所示空間直角坐標系D-xyz
則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)
(1)因為點M是棱AA’的中點,點O是BD’的中點
所以M(1,0, ),O(,,)
,=(0,0,1),=(-1,-1,1)
=0, +0=0
所以O(shè)M⊥AA’,OM⊥BD’
又因為OM與異面直線AA’和BD’都相交
故OM為異面直線AA'和BD'的公垂線.………………………………6分
(2)設(shè)平面BMC'的一個法向量為=(x,y,z)
=(0,-1,), =(-1,0,1)
即
取z=2,則x=2,y=1,從而=(2,1,2)
取平面BC'B'的一個法向量為=(0,1,0)
cos
由圖可知,二面角M-BC'-B'的平面角為銳角
故二面角M-BC'-B'的大小為arccos………………………………………………12分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2009湖南卷文)(本小題滿分12分)
為拉動經(jīng)濟增長,某市決定新建一批重點工程,分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類,這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的、、.現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè).求:
(I)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分12分)
某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2,
(注:利潤與投資單位是萬元)
(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少萬元.
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