Question

已知∠A=60°，P、Q分別是∠A的兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AP=x，AQ=y
（1）如圖左，若PQ=

3

，求△APQ面積的最大值，并求取得最大值時(shí)x，y的值；
（2）如圖右，設(shè)∠MAP=α，∠MAQ=β，（α，β為定值），M在線段PQ上，且AM=

3

2

，求x+y的最小值，并求取得最小值時(shí)x，y的值．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理可得xy≤3，故△APQ面積S△APQ=

1

2

xysin600=

3

4

xy≤

3 3

4

，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

3

時(shí)取等號(hào)．
 （2）由S_△APQ=S_△MAP+S_△NAP 可得

sinβ

x

+

sinα

y

=1，故由(x+y)(

sinβ

x

+

sinα

y

)=sinα+sinβ+

xsinα

y

+

ysinβ

x

 使用基本不等式得 x+y≥(

sinα

+

sinβ

)2，當(dāng)且僅當(dāng)

x=( sinα + sinβ ) sinβ y=( sinα + sinβ ) sinα

時(shí)取等號(hào)．

解答：解：（1）由余弦定理知：3=x²+y²-2xycos60°≥2xy-xy，故xy≤3，
所以，△APQ面積S△APQ=

1

2

xysin600=

3

4

xy≤

3 3

4

，
即△APQ面積的最大值為

3 3

4

，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

3

時(shí)取等號(hào)．
（2）由S_△APQ=S_△MAP+S_△NAP，即

1

2

xysin600=

1

2

x

3

2

sinα+

1

2

y

3

2

sinβ，
故xy=xsinα+ysinβ，得

sinβ

x

+

sinα

y

=1，
故(x+y)(

sinβ

x

+

sinα

y

)=sinα+sinβ+

xsinα

y

+

ysinβ

x

≥sinα+sinβ+2

sinαsinβ

=(

sinα

+

sinβ

)2，
即x+y≥(

sinα

+

sinβ

)2，即x+y的最小值為(

sinα

+

sinβ

)2，
當(dāng)且僅當(dāng)

x=( sinα + sinβ ) sinβ y=( sinα + sinβ ) sinα

時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件．