Question

 

已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，下頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，⊙是以為直徑的圓.

（Ⅰ）當(dāng)⊙的面積為時(shí)，求所在直線的方程；

（Ⅱ）當(dāng)⊙與直線相切時(shí)，求⊙的方程；

（Ⅲ）求證：⊙總與某個(gè)定圓相切.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）易得，設(shè)點(diǎn)P，

則，所以…3分

又⊙的面積為，∴，解得，∴，

∴所在直線方程為或………………5分

（Ⅱ）因?yàn)橹本�的方程為，且到直線的

距離為………………………………7分

化簡(jiǎn)，得，聯(lián)立方程組，解得或…10分

∴當(dāng)時(shí)，可得，∴⊙的方程為；

當(dāng)時(shí)，可得，∴⊙的方程為…12分

（Ⅲ）⊙始終和以原點(diǎn)為圓心，半徑為（長(zhǎng)半軸）的圓（記作⊙）相切13分

證明：因?yàn)?sub>，

又⊙的半徑，∴，∴⊙和⊙相內(nèi)切…16分

（說(shuō)明：結(jié)合橢圓定義用幾何方法證明亦可）