Question

一個如圖所示的不規(guī)則形鐵片，其缺口邊界是口寬4分米，深2分米（頂點(diǎn)至兩端點(diǎn)所在直線的距離）的拋物線形的一部分，現(xiàn)要將其缺口邊界裁剪為等腰梯形．
（1）若保持其缺口寬度不變，求裁剪后梯形缺口面積的最小值；
（2）若保持其缺口深度不變，求裁剪后梯形缺口面積的最小值．

Answer 1

（1）6，（2）.

試題分析：（1）由題意得：保持其缺口寬度不變，需在A,B點(diǎn)處分別作拋物線的切線. 以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，從而邊界曲線的方程為，．因?yàn)閽佄锞�在點(diǎn)處的切線斜率，所以，切線方程為，與軸的交點(diǎn)為．此時(shí)梯形的面積平方分米，即為所求．（2）若保持其缺口深度不變，需使兩腰分別為拋物線的切線. 設(shè)梯形腰所在直線與拋物線切于時(shí)面積最小．此時(shí)，切線方程為，其與直線相交于，與軸相交于．此時(shí)，梯形的面積，．故，當(dāng)時(shí)，面積有最小值為．
解：（1）以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對稱軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，
從而邊界曲線的方程為，．
因?yàn)閽佄锞�在點(diǎn)處的切線斜率，
所以，切線方程為，與軸的交點(diǎn)為．
此時(shí)梯形的面積平方分米，即為所求．
（2）設(shè)梯形腰所在直線與拋物線切于時(shí)面積最�。�
此時(shí)，切線方程為，
其與直線相交于，
與軸相交于．
此時(shí)，梯形的面積，．……11分
（這兒也可以用基本不等式，但是必須交代等號成立的條件）
=0，得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
故，當(dāng)時(shí)，面積有最小值為．