Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=，∠ACB=60°，E、F分別是A₁C₁、BC的中點(diǎn)．
（1）證明：C₁F∥平面ABE；
（2）若P是線段BE上的點(diǎn)，證明：平面A₁B₁C⊥平面C₁FP；
（3）若P在E點(diǎn)位置，求三棱錐P-B₁C₁F的體積．

Answer 1

解：（1）取AB中點(diǎn)G，連接GF、GE，
∵F為BC中點(diǎn)，∴FG∥AC，且FG=AC
而由三棱柱可得，C₁E∥AC，且C₁E=AC，∴FG∥C₁E且FG=C₁E
∴四邊形EGFC₁為平行四邊形，得C₁F∥EG，
∵EG?平面ABE，C₁F?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE．…（5分）
（2）△ABC中，AC=4，CB=2，∠ACB=60°，
可求得AB=2且∠ABC=90°即AB⊥BC
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC≌△A₁B₁C₁，∴∠A₁B₁C₁也為90°，即A₁B₁⊥B₁C₁，
又由直三棱柱可得BB₁⊥底面A₁B₁C₁，∴BB₁⊥A₁B₁，
∵BB₁∩B₁C₁=B₁，BB₁、B₁C₁?側(cè)面B₁C₁CB，∴A₁B₁⊥側(cè)面B₁C₁CB結(jié)合C₁F?側(cè)面B₁C₁CB，得A₁B₁⊥C₁F；
在側(cè)面矩形B₁C₁CB中，BB₁=，BC=2，F(xiàn)為BC中點(diǎn)
∴△C₁CF∽△CBB₁，從而得∠BCB₁=∠FC₁C
∴∠C₁FC+∠BCB₁=∠C₁FC+∠FC₁C=90°，即B₁C⊥C₁F；
又∵A₁B₁∩B₁C=B₁，A₁B₁?平面A₁B₁C，B₁C?平面A₁B₁C，
∴C₁F⊥平面A₁B₁C
又∵C₁F?平面C₁FP，
∴平面A₁B₁C⊥平面C₁FP．…（12分）
（3）∵P在E點(diǎn)位置，三棱錐P-B₁C₁F即為三棱錐E-B₁C₁F
∵E是A₁C₁的中點(diǎn)，∴E到平面BCC₁B₁的距離是A₁到平面BCC₁B₁的距離一半
又∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，且A₁B₁=2，∴P到平面BCC₁B₁的距離d=A₁B₁=
而在矩形BCC₁B₁中，S_△B1C1F=S_矩形BCC1B1=
∴V_三棱錐=×S_△B1C1F×d=…（16分）
分析：（1）取AB中點(diǎn)G，連接GF、GE，可以證出四邊形EGFC₁為平行四邊形，從而得到C₁F∥EG，最后結(jié)合線面平行判定定理，可得C₁F∥平面ABE．
（2）根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)和題中的直三棱柱性質(zhì)，證出A₁B₁⊥C₁F且B₁C⊥C₁F，從而得到C₁F⊥平面A₁B₁C，結(jié)合C₁F?平面C₁FP，可得平面A₁B₁C⊥平面C₁FP．
（3）根據(jù)E是A₁C₁的中點(diǎn)，得到E到平面BCC₁B₁的距離是A₁到平面BCC₁B₁的距離一半，得到以△B₁C₁F為底的高等于A₁B₁=，算出△B₁C₁F的面積并結(jié)合錐體體積公式，可算出三棱錐P-B₁C₁F的體積．
點(diǎn)評：本題以特殊的直三棱柱為載體，求證線面平行、面面垂直，并求錐體的體積．著重考查了直線與平面平行的判定、平面與平面垂直的判定和棱錐的體積等知識，屬于中檔題．