Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點(diǎn)P在棱BB₁上運(yùn)動(dòng)（不含B，B₁兩點(diǎn)），求△APC₁的面積S的最小值．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標(biāo)系后，設(shè)PB₁=t，在AC₁上任取一點(diǎn)Q，要使△APC₁的面積S最小，必有

PQ

⊥

AC1

與

PQ

⊥

B1B

，
求點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)后，即可求出三角形高的最小值，由此可求S的最小值．

解答：解：以D₁為原點(diǎn)，D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸，D₁D為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PB₁=t（0＜t＜1），則A（1，0，1），C₁（0，1，0），P（1，1，t），在AC₁上任取一點(diǎn)Q（a，b，c），
由

AQ

=λ

AC1

，得（a-1，b，c-1）=λ（-1，1，-1），
∴a=1-λ，b=λ，c=1-λ，
令x=1-λ，有Q（x，1-x，x），又

AC1

=(-1，1，-1)，

B1B

=(0，0，1)，

PQ

=(x-1，-x，x-z)，
當(dāng)△APC₁的面積S的最小時(shí)，|

PQ

|最小，必有

PQ

⊥

AC1

，

PQ

⊥

B1B

，
得

PQ • AC1 =0 PQ • B1B =0

，∴

(x-1，-x，x-t)•(-1，1，-1)=0 (x-1，-x，x-t)•(0，0，1)=0

⇒

1-3x+t=0 x-t=0

，
解得x=t=

1

2

，這時(shí)|

PQ

|=|(-

1

2

，-

1

2

，0)|=

2

2

，即|

PQ

|≥

2

2

，又|

AC1

|=

3

．
∴△APC₁的面積S=

1

2

|

AC1

|•|

PQ

|≥

6

4

，即△APC₁的面積S的最小值為

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是點(diǎn)、線、面間的距離的計(jì)算，由于本題易于建立空間直角坐標(biāo)系求距離，進(jìn)而求△APC₁的面積，所以選用了“坐標(biāo)法”，但要注意過程中的細(xì)節(jié)處理，盡一切可能的降低運(yùn)算量，如令x=1-λ．若用“幾何法”，易產(chǎn)生漏洞，因位置關(guān)系判斷不準(zhǔn)而致求△APC₁的面積出錯(cuò)．