Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面，且．

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的大小為，求銳二面角的大�。�

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接.

因?yàn)?/span>，所以.

由平面側(cè)面，且平面側(cè)面，

得平面. ………………（3分）

又平面，所以，

因?yàn)槿�棱�?/span>是直三棱柱，則底面，

所以

又，從而側(cè)面，又側(cè)面，

故． ………………（6分）

（2）解法一：連接，由（1）可知平面，則是在平面內(nèi)的射影．

∴即為直線與平面所成的角，則.

在等腰直角中，，且點(diǎn)是中點(diǎn)，

∴，又，，∴．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由（1）知平面，則，又，∴，

∴即為二面角的一個(gè)平面角. ………………（9分）

在直角中，，

又，，

∴，

又二面角為銳二面角，∴，

即二面角的大小為． ………………（12分）

解法二（向量法）：由（1）知且底面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為， ，軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，，，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，，得.

令，得，則.

設(shè)直線與平面所成的角為，則，

所以，

解得， 即．

又設(shè)平面的一個(gè)法向量為，同理可得.

設(shè)銳二面角的大小為，則，

由，得.

∴銳二面角的大小為． ………………（12分）

【命題意圖】本小題主要考查線線垂直，線面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，并考查應(yīng)用向量知識(shí)解決立體幾何問題的能力．