Question

設(shè)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M(

1

2

，0)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C，|BF|=2，則△BCF與△ACF的面積之比

S△BCF

S△ACF

=（　�。�

• A．

  4

  5

• B．

  8

  5

• C．

  7

  4

• D．2

Answer 1

分析：先求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再利用拋物線定義，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而寫出直線AB方程，聯(lián)立拋物線方程求得A點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到A到準(zhǔn)線的距離，最后證明所求面積之比就是B、A到準(zhǔn)線距離之比即可

解答：解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，如圖，
∵|BF|=2，∴B到準(zhǔn)線的距離為d₁=2，即B的橫坐標(biāo)為1，從而點(diǎn)B（1，2）
∵M(jìn)（

1

2

，0），∴直線AB方程為y=4（x-

1

2

），即y=4x-2
代入拋物線方程得4x²-5x+1=0，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（

1

4

，-1）
∴點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離d₂=1+

1

4

=

5

4

∴△BCF與△ACF的面積之比

S△BCF

S△ACF

=

BC

AC

=

d1

d2

=

2

5 4

=

8

5

故選 B

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的定義及其幾何性質(zhì)，將所求面積之比轉(zhuǎn)化為B、A到準(zhǔn)線距離之比，是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題