Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=1，求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由切線的方程，可得a，b的方程，解方程可得a，b的值；
（Ⅱ）求得導(dǎo)數(shù)，討論a=0，a＞0，a＜0，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進(jìn)而得到極值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²-2ax-3a²，
f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為1-2a-3a²，
由切線方程為y=1，可得f（1）=1，f′（1）=0，
即為$\frac{1}{3}$-a-3a²+b=1，1-2a-3a²=0，
解得a=-1，b=$\frac{8}{3}$或a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{4}{3}$；
（Ⅱ）f′（x）=x²-2ax-3a²=（x-3a）（x+a），
當(dāng)a=0時，f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；
當(dāng)a＞0時，-a＜3a，當(dāng)x＞3a或x＜-a時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)-a＜x＜3a時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=-a處取得極大值，且為b+$\frac{5}{3}$a³；x=3a處取得極小值，且為b-9a³．
當(dāng)a＜0時，-a＞3a，當(dāng)x＞-a或x＜3a時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)3a＜x＜-a時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=-a處取得極小值，且為b+$\frac{5}{3}$a³；x=3a處取得極大值，且為b-9a³．
綜上可得，a=0時，f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞），無極值；
a＞0時，f（x）的增區(qū)間為（-∞，-a），（3a，+∞），減區(qū)間為（-a，3a），
極小值為b-9a³，極大值為b+$\frac{5}{3}$a³；
a＜0時，f（x）的減區(qū)間為（-∞，3a），（-a，+∞），增區(qū)間為（3a，-a），
極大值為b-9a³，極小值為b+$\frac{5}{3}$a³．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查分類討論的思想方法，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．