【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，且，交于點，是上任意一點．

（1）求證：；

（2）若為的中點，且二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值．

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）先求證AC⊥平面PBD，再證AC⊥DE.(2)先證明 EO⊥平面ABCD，分別以OA，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，再利用向量法求出EC與平面PAB所成角的正弦值.

（1）因為DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，

因為四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC，

又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，

因為DE平面PBD，∴AC⊥DE．

（2）連接OE，在△PBD中，EO∥PD，

所以EO⊥平面ABCD，分別以OA，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

設PD=t，則A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），

E（0，0，），P（0，﹣，t）．

設平面PAB的一個法向量為（x，y，z），

則 ，令，得，

平面PBD的法向量（1，0，0），

因為二面角A﹣PB﹣D的余弦值為，

所以 ，

所以或（舍），

則

∴，

∴EC與平面PAB所成角的正弦值為．

練習冊系列答案
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【題目】某服裝廠生產(chǎn)一種服裝，每件服裝成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，規(guī)定當一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單價就降低元，根據(jù)市場調(diào)查，銷售商一次訂購不會超過600件.

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【題目】已知拋物線的焦點為，且過點，橢圓的離心率為，點為拋物線與橢圓的一個公共點，且.

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（2）求直線被圓C所截得的弦長最短時直線的方程及最短弦長；

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【題目】在四棱錐中， 為正三角形，平面平面， ， ， .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求三棱錐的體積；

（Ⅲ）在棱上是否存在點，使得平面?若存在，請確定點的位置并證明；若不存在，說明理由．

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