Question

已知等比數(shù)列的公比q＞0，a₁=，且a₁是3a₂與2a₃的等差中項(xiàng)．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=），記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)n為何值時(shí)，S_n取得最大值？

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可求得等比數(shù)列{a_n}的公比q，利用其通項(xiàng)公式即可求得a_n；
（2）由（1）知a_n=，于是可求得b_n=-n，易證數(shù)列{b_n}是以為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，從而可求其前n項(xiàng)和S_n．
解答：解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，a₁是3a₂與2a₃的等差中項(xiàng)，
∴3a₁q+2a₁q²=2a₁，又a₁=，
∴q=或q=-2（舍去），
∴a_n=；
（2）∵b_n=+log₂a_n=+log₂=-n，
∴b_n+1=-（n+1），
∴b_n+1-b_n=-1，又b₁=，
∴數(shù)列{b_n}是以為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=n+×（-1）
=-n²+10n．
=-（n-10）²+50，
∴當(dāng)n=10時(shí)，S₁₀取得最大值50．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和，著重考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的公式法求和，屬于中檔題．