Question

已知函數(shù)，其中a∈R．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a(bǔ)=2代入解析式，再求出導(dǎo)數(shù)，再求出切線的斜率f′（1）和f（1），代入點(diǎn)斜式方程再化為一般式；
（2）由題意求出導(dǎo)數(shù)并配方，對(duì)a進(jìn)行分類：a≤0和a＞0討論，再a＞0情況下再分類，求出對(duì)應(yīng)的臨界點(diǎn)，判斷出在[2，3]上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，最后在用分段函數(shù)的形式表示出來．
解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，，
則f′（x）=2x²-4x，故切線的斜率k=f′（1）=-2，
又∵，∴切線方程為 ，
即6x+3y-5=0．
（2）由題意得f′（x）=2x²-4x+2-a=2（x-1）²-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，∴f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，
則f（x）_max=f（3）=7-3a，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得
①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，則f（x）_max=f（3）=7-3a
②當(dāng)2＜a＜8時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
比較f（2）與f（3）的大小，令f（2）＞f（3），
＞，
解得，
③當(dāng)a≥8時(shí)，f（x）在[2，3]上單調(diào)遞減，
綜上，
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值之間的關(guān)系，考查了分類討論思想和做差法比較大小，屬于中檔題．