Question

已知函數(shù)
（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間;
（2）當函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應函數(shù)值的取值區(qū)間相同時，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間。設，試問函數(shù)在上是否存在保值區(qū)間？若存在，請求出一個保值區(qū)間；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）當時，的單調增區(qū)間為；當時，的單調增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）不存在保值區(qū)間.

試題分析：本題主要考查函數(shù)與導數(shù)以及運用導數(shù)求單調區(qū)間、極值等數(shù)學知識和方法，考查思維能力、運算能力、分析問題解決問題的能力，考查轉化思想和分類討論思想.第一問，先對求導，令，可以看出的單調區(qū)間是由0和1斷開的，現(xiàn)在所求的范圍是，所以將從0斷開，分和兩部分進行討論，分別判斷的正負來決定的單調性；第二問，用反證法證明，先假設存在保值區(qū)間，先求出，再求導，因為，所以可以求出最值，即方程有兩個大于1的相異實根，下面證明函數(shù)有2個零點，通過2次求導，判斷單調性和極值確定只有一個零點，所以與有2個大于1的實根矛盾，所以假設不成立，所以不存在保值區(qū)間.
試題解析：（1）當時，，此時的單調增區(qū)間為；
當時，，此時的單調增區(qū)間為，減區(qū)間為       4分
（2）函數(shù)在上不存在保值區(qū)間。     5分
證明如下：
假設函數(shù)存在保值區(qū)間[a,b]. ,
因時，所以為增函數(shù)，     所以
即方程有兩個大于1的相異實根。           7分
設，
因，，所以在上單增，又，
即存在唯一的使得                        9分
當時，為減函數(shù)，當時，為增函數(shù)，
所以函數(shù)在處取得極小值。又因，
所以在區(qū)間上只有一個零點，             11分
這與方程有兩個大于1的相異實根矛盾。
所以假設不成立，即函數(shù)在上不存在保值區(qū)間。   12分