Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=6，a₅=18；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是T_n，且T_n+b_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）記c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)a_n的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式根據(jù)a₂=6，a₅=18可求得a₁和d，進(jìn)而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先看當(dāng)n≥2時(shí)根據(jù)T_n-T_n-1=b_n，可得b_n與b_n-1的關(guān)系式整理的，進(jìn)而可知為等比數(shù)列，最后驗(yàn)證n=1時(shí)，也成立．原式得證．
（3）由（2）可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得{c_n}的通項(xiàng)公式．?dāng)?shù)列{c_n}由等差數(shù)列和等比數(shù)列構(gòu)成，進(jìn)而可用錯位將減法求和．
解答：解：（1）設(shè)a_n的公差為d，則：a₂=a₁+d，a₅=a₁+4d，
∵a₂=6，a₅=18，∴，∴a₁=2，d=4．
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=T₁，由，得．
當(dāng)n≥2時(shí)，∵，，
∴，即
∴．
b_n是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（3）由（2）可知：．
∴=．
S_n=c₁+c₂+…c_n-1+c_n=
∴．
∴=
=
=
∴
點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和問題．當(dāng)出現(xiàn)由等比數(shù)列和等差數(shù)列構(gòu)成的數(shù)列求和時(shí)，一般采用錯位相減法．