Question

已知橢圓C：（）的右焦點(diǎn)為F(2,0)，且過點(diǎn)P(2，).直線過點(diǎn)F且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為M（），求直線的方程.

Answer 1

已知橢圓C：（）的右焦點(diǎn)為F(2,0)，且過點(diǎn)(2，).直線過點(diǎn)F且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為M（），求直線的方程.

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，則

，解得，，所以橢圓C的方程為，

（Ⅱ）當(dāng)斜率不存在時,不符合題意,

當(dāng)斜率存在時設(shè)直線l的方程為y=k(x-2)，A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，AB的中點(diǎn)為N(x₀,y₀),

由得,    

因?yàn)?sub>，

所以，

所以，, …

因?yàn)榫�段AB的垂直平分線過點(diǎn)M()，

所以，即，所以，

解得，,

所以直線l的方程為 或