Question

據(jù)統(tǒng)計某種汽車的最高車速為120千米∕時，在勻速行駛時每小時的耗油量y（升）與行駛速度y（千米∕時）之間有如下函數(shù)關(guān)系：y=

1

128000

x3-

3

80

x+8．已知甲、乙兩地相距100千米．
（ I）若汽車以40千米∕時的速度勻速行駛，則從甲地到乙地需耗油多少升？
（ II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出汽車從甲地到乙地行駛的時間，即可求得需耗油的升數(shù)；
（Ⅱ）當汽車的行駛速度為x千米∕時時，從甲地到乙地需行駛

100

x

小時，列出耗油函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)可得最值．

解答：解：（Ⅰ）當x=40千米∕時時，汽車從甲地到乙地行駛了

100

40

=2.5（小時），
需耗油(

1

128000

×403-

3

80

×40+8)×2.5=17.5（升）．
所以，汽車以40千米∕時的速度勻速行駛，從甲地到乙地需耗油17.5升…（4分）．
（Ⅱ）當汽車的行駛速度為x千米∕時時，從甲地到乙地需行駛

100

x

小時．設(shè)耗油量為h（x）升，
依題意，得h(x)=(

1

128000

x3-

3

80

x+8)•

100

x

=

1

1280

x2+

800

x

-

15

4

，其中，0＜x≤120．…（7分）即h′(x)=

x

640

-

800

x2

=

x3-803

640x2

（0＜x≤120）．
令 h′（x）=0，得x=80
當x∈（0，80）時，h′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；當x∈（80，120）時，h′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增
∴x=80時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升
∴所以當汽車以80千米∕時的速度行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，屬于中檔題．