已知
m
=(sinωx,cosωx),
n
=(cosωx,cosωx),(ω>0)
若函數(shù)f(x)=
m
n
-
1
2
的最小正周期是4π.
(1)求函數(shù)y=f(x)取最值時x的取值集合;
(2)在△ABC中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC,求函數(shù)f(A)的取值范圍.
分析:(1)通過向量的數(shù)量積求出函數(shù)的表達式,利用二倍角、兩角和的正弦函數(shù),化為一個角的一個三角函數(shù)的形式,通過正弦函數(shù)的最大值求函數(shù)y=f(x)取最值時x的取值集合;
(2)利用正弦定理以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(2a-c)cosB=bcosC,求出B大小,利用(1)可得函數(shù)f(A)的表達式,結(jié)合A的范圍,即可求出函數(shù)f(A)的取值范圍.
解答:解:(1)f(x)=
m
n
-
1
2
=(sinωx,cosωx)•(cosωx,cosωx)
=sinωxcosωx+cos2ωx-
1
2

=
1
2
sin2ωx+
1+cosωx
2
-
1
2

=
1
2
(sin2ωx+cos2ωx)

=
2
2
sin(2ωx+
π
4
)

∵T=4π=
,∴ω=
1
4

∴f(x)=
2
2
sin(
1
2
x+
π
4
)

1
2
x+
π
4
=
π
2
+kπ
 (k∈Z)時,f(x)取得最值,
此時x的取值集合為:{x|x=
π
2
+kπ
,k∈Z}.
(2)因為(2a-c)cosB=bcosC,
⇒(2sinA-cosC)cosB=sinBcosC,
⇒2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.
⇒2cosB=1
⇒B=
π
3

f(A)=
2
2
sin(
1
2
A+
π
4
)
,0<A<
3
,
π
4
< 
1
2
A+
π
4
< 
12
,
sin(
1
2
A+
π
4
)∈(
2
2
,1]
,
2
2
sin(
1
2
A+
π
4
)∈(1,
2
2
]

1
2
<f(A)≤ 
2
2
點評:本題是中檔題,考查三角函數(shù)的化簡求值,向量的數(shù)量積的應(yīng)用,兩角和與差的三角函數(shù)等知識,考查計算能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
,
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)
,其中ω>0,若函數(shù)f(x)=
m
n
,且函數(shù)f(x)的圖象與直線y=2相鄰兩公共點間的距離為π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C、的對邊,且a=
3
,b+c=3
,f(A)=1,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•濰坊二模)已知
m
=(cos?x,sin?x),
n
=(cos?x,2
3
cos?x-sin?x)
,?>0,函數(shù)f(x)=
m
n
+|
m
|
,x1,x2是集合M={x|f(x)=1}中任意兩個元素,且|x1-x2|的最小值為
π
2

(1)求?的值.
(2)在△ABC中,a,b,c分別是A,B,C的對邊.f(A)=2,c=2,S△ABC=
3
2
,求a的值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•黃岡模擬)已知m=(cosωx+sinωx,
3
cosωx)
,n=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若函數(shù)f(x)=m•n,且f(x)的對稱中心到f(x)對稱軸的最近距離不小于
π
4

(Ⅰ)求ω的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且a=1,b+c=2,當ω取最大值時,f(A)=1,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:三亞模擬 題型:解答題

已知
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
,
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)
,其中ω>0,若函數(shù)f(x)=
m
n
,且函數(shù)f(x)的圖象與直線y=2相鄰兩公共點間的距離為π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C、的對邊,且a=
3
,b+c=3
,f(A)=1,求△ABC的面積.

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