設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn滿(mǎn)足Sn=數(shù)學(xué)公式
①先求出a1，a2，a3，a4的值，然后猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．
②設(shè)數(shù)學(xué)公式，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n．

解：①在 Sn=中，令n=1可得，a1=，∴a1=1． 令n=2 可得，1+a2=，
a2 =3，同理可求，a3=5，a4=7．
猜測(cè)an=2n-1．
證明：當(dāng)n=1時(shí)，猜測(cè)顯然成立，假設(shè) ak=2k-1，
則由 ak+1=sk+1-sk=-=-k2，解得 ak+1=2k+1，
故n=k+1時(shí)，猜測(cè)仍然成立，
③∵==（- ），
∴Tn=[（1-）+（）+（ ）+…+（-）]=（1- ）
=．
分析：①求出數(shù)列的前若干項(xiàng)，歸納出一般結(jié)論，用數(shù)學(xué)歸納法證明．
③把通項(xiàng) 裂項(xiàng)變?yōu)?（- ），其前n項(xiàng)的和 Tn=
[（1-）+（）+（ ）+…+（-）]=（1- ） 化簡(jiǎn)可得結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，裂項(xiàng)求和是解題的難點(diǎn)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和是bn，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)之積是cn，且bn+cn=1，則數(shù)列{
1an
}中最接近108的項(xiàng)是第
10
10
項(xiàng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=
1
2
(an+
1
an
)，（n∈N*）．
（Ⅰ）試求a1，a2，a3；
（Ⅱ）猜想an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是bn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之積是cn，且bn+cn=1（n∈N*），則{
1an
}的前10項(xiàng)之和等于
440
440
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•嘉定區(qū)一模）設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整數(shù)m，使得不等式Sn-1005＞
a
2
n
2
對(duì)一切滿(mǎn)足n＞m的正整數(shù)n都成立？若存在，則這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？并求出滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)與數(shù)列{Sn}有關(guān)的數(shù)列{un}，使得
lim
n→∞
(u1+u2+…+un)存在，并求出這個(gè)極限值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為bn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和為cn，且bn+cn=1，則|c100-a100|=
1
1
．

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