Question

分別在下列范圍內(nèi)求函數(shù)y=x²-2x-3的最大值和最小值.

（1）0＜x＜2；（2）2≤x≤3;(3)0≤x≤3.

Answer 1

思路解析：對(duì)于二次函數(shù)y=f(x)，當(dāng)x∈R時(shí)，函數(shù)只有最大值或只有最小值.當(dāng)m≤x≤n時(shí)，函數(shù)既有最大值又有最小值.具體求解時(shí)，一定要結(jié)合圖象進(jìn)行，特別注意對(duì)稱軸x=h與區(qū)間(m,n)的相對(duì)關(guān)系.

先求拋物線的頂點(diǎn)，然后看頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否在所規(guī)定的自變量的范圍內(nèi).

解：∵y=x²-2x-3=(x-1)²-4，∴頂點(diǎn)為（1，4）.

（1）∵x=1∈(0,2)，且拋物線開(kāi)口向上，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值-4，無(wú)最大值.

（2）∵x=1［2,3］，∴函數(shù)y=x²-2x-3在區(qū)間［2,3］上單調(diào).

當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y有最小值f(2)=2²-2×2-3=-3；

當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)y有最大值f(3)=3²-2×3-3=0.

（3）∵x=1∈［0,3］，且x=3比x=0距離對(duì)稱軸x=1更遠(yuǎn)，

又y=x²-2x-3開(kāi)口向上，

∴f(1)=-4為函數(shù)的最小值，f(3)=0為函數(shù)的最大值.