Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項的和為

1

12

，且S₅=45，S₆=60．
（1）求的通項公式；
（2）若數(shù)列

2 55

5

滿足b_n+1-b_n=a_n（n∉N^*），且b₁=3設(shè)數(shù)列{

1

bn

}的前n項和為T_n，求證：T_n＜

3

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）a₆=S₆-S₅=15，由s₆=

6(a1+a6)

2

=60，解得a₁=5，再由d=

a6-a1

6-1

=2，能求出{a_n} 的通項公式．
（2）由b₂-b₁=a₁，b₃-b₂=a₂，b₄-b₃=a₃，…，b_n-b_n-1=a_n-1，疊加得b_n-b₁=

(a1+an-1)(n-1)

2

=

(5+2n+1)(n-1)

2

，所以b_n=n²+2n，

1

bn

=

1

n2+2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），由裂項求和法能夠證明T_n＜

3

4

．

解答： （1）解：a₆=S₆-S₅=15，由s₆=

6(a1+a6)

2

=60，
解得a₁=5，又∵d=

a6-a1

6-1

=2，
所以a_n=2n+3．…4
（2）證明：∵b₂-b₁=a₁，
b₃-b₂=a₂，
b₄-b₃=a₃，
…
b_n-b_n-1=a_n-1，
疊加得b_n-b₁=

(a1+an-1)(n-1)

2

=

(5+2n+1)(n-1)

2

，
所以bn=n2+2n．…（9分）
∴

1

bn

=

1

n2+2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）＜

3

4

．
∴T_n＜

3

4

．

點評：本題考查數(shù)列通項公式和數(shù)列前n項和的求法，證明T_n＜

3

4

．解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用和裂項求和法的靈活運用．