Question

18．已知A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角，△ABC的面積為S，且$\sqrt{3}abcosC=2S$．
（1）求角C的大�。�
（2）若$c=\sqrt{6}$，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及三角形面積公式可得$\sqrt{3}cosC=sinC$，即tanC=$\sqrt{3}$，又C為三角形內(nèi)角，從而可解得C的值．
（2）由（1）及正弦定理可得：a+b=2$\sqrt{2}$sinA+2$\sqrt{2}$sinB=2$\sqrt{6}$sin（A+$\frac{π}{6}$），由0$＜A＜\frac{2π}{3}$，由正弦函數(shù)的性質(zhì)解得a+b$≤2\sqrt{6}$，從而可求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

解答 解：（1）∵△ABC的面積為S，$\sqrt{3}abcosC=2×\frac{1}{2}absinC$
∴$\sqrt{3}cosC=sinC$，即tanC=$\sqrt{3}$，
又∵C為三角形內(nèi)角，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{6}}{sin\frac{π}{3}}=2\sqrt{2}$，
∵A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴a+b=2$\sqrt{2}$sinA+2$\sqrt{2}$sinB
=2$\sqrt{2}$sinA+2$\sqrt{2}$sin（$\frac{2π}{3}-A$）
=3$\sqrt{2}$sinA+$\sqrt{6}$cosA
=2$\sqrt{6}$sin（A+$\frac{π}{6}$）
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$$＜A+\frac{π}{6}$$＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，從而a+b$≤2\sqrt{6}$．
綜上：a+b+c$≤3\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形面積公式，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．