Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+4sin²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若B為銳角且f（B）=$\frac{7}{2}$，BC邊上的中線AD長為2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z即可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）由B為銳角，可得：2B-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），由已知正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解得B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理及基本不等式的應(yīng)用可得ac≤8，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+4sin²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}$cos2x+2-2cos2x
=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2．
∴令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z即可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z；
（Ⅱ）∵B為銳角，可得：2B-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
且f（B）=$\sqrt{3}$sin（2B-$\frac{π}{3}$）+2=$\frac{7}{2}$，解得：sin（2B-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：2B-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，解得：B=$\frac{π}{3}$．
∴在△ABD中，由余弦定理：AD²=AB²+BD²-2•AB•BD•cosB，可得：4=c²+（$\frac{1}{2}a$）²-2×c×$\frac{1}{2}a$×$\frac{1}{2}$，整理可得：16=4c²+a²-2ac≥4ac-2ac=2ac，解得：ac≤8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×8×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．故△ABC面積的最大值為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形面積公式，余弦定理及基本不等式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．